Paradoja de la flecha

Un arquero dispara una flecha contra una diana, que está situada a una distancia D del arquero. Cuando la flecha se encuentre a la mitad del camino hacia la diana, la distancia que le quedará por recorrer es D/2. Si tomamos D/2 como nuevo punto de referencia, en algún momento la flecha estará situada, de nuevo, a la mitad de la distancia que le queda por recorrer, es decir (D/2)/2 = D/4. Y así sucesivamente, podemos ir dividiendo la distancia que queda por recorrer en infinitas mitades. Como los números son infinitos, las divisiones que podemos hacer son infinitas, y la flecha no llegaría nunca a la diana. Sin embargo, sabemos que llega. ¿Por qué?

El error está en considerar que la suma de infinitas cantidades da siempre una cantidad infinita. Hay muchas sumas de infinitos términos cuyo resultado es finito. Esto ocurre con las progresiones geométricas de razón menor que uno que es el caso que nos ocupa.

Si calculamos la suma de las distancias recorridas por la flecha obtenemos lo siguiente:


Sacando factor común y haciendo algunas operaciones tenemos:


Vemos también que las infinitas sumas tienen un límite y ese límite es precisamente la distancia total. Conclusión: la flecha alcanza la diana.

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Todo esto viene a cuento porque este fin de semana están en León los padres de Luciana, habíamos salido todos a pasear con la niña, y yo estaba hablando con el padre de Lu. Como siempre, los recurrentes temas se van sucediendo uno tras otro, hasta llegar a las confesiones de San Agustín. Yo habitualmente apago la radio y le dejo que se explaye, pero en este caso una novedad me hizo intervenir en su monólogo.

Me estaba describiendo a Dios como un concepto infinito, y me dijo que la naturaleza humana jamás podría llegar al concepto de infinito con la suma de términos finitos. Yo le dije que ahi se equivocaba, y le conté la paradoja de la flecha.

Ante una demostración tan sencilla e ilustrativa, me dijo que la lógica matemática solo servía para dar explicación a los elementos terrenales, pero que no es válida para llegar hasta los conceptos divinos y explicar la existencia de Dios. Es decir, esto es así porque sí, y tu te callas chaval. Una respuesta similar a cuando ibamos al cole y si te encontrabas muy pillado decías el que lo dice lo es con el culo al revés.

Y es que para qué discutir del tema. Si la ciencia no es capaz de demostrar la existencia de Dios, entonces no se puede explicar y no hay que darle más vueltas. Haber empezado por ahi, Dios existe y punto.

Lo que me fastidia es que determinadas personas le dan vueltas y más vueltas, e incluso se puede vivir de esto. Encima, como tienen a Dios de su parte, se creen en posesión del conocimiento absoluto, y aunque no tengan ni puta idea de matemáticas poder ir por ahi vacilando a la gente. O decir que la tierra no es redonda. O negar la doble circulación sanguínea.

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